Der Induktionsanfang
folgt unmittelbar aus der Antisymmetrie. Es sei also die Aussage für ein gewisses
schon bewiesen und es liegen
Elemente mit den Abschätzungen
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![{\displaystyle {}a_{1}\preccurlyeq a_{2}\preccurlyeq \ldots \preccurlyeq a_{n}\preccurlyeq a_{n+1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f053107ae2941805c06843e4b46c5b2d14850bd)
und
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![{\displaystyle {}a_{n+1}\preccurlyeq a_{1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f24f42cdff66b3fe395a7132e2c9a87fad2d41)
vor. Wegen der Transitivität der Ordnung gilt dann auch
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![{\displaystyle {}a_{n}\preccurlyeq a_{1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a68956f696244508c98e75193259ca86cb02d938)
und damit gelten auch die Bedingungen in der Induktionsvoraussetzung. Somit ist also
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![{\displaystyle {}a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67d1554000afc37d2cf776709d8e0e309978823d)
Wegen
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![{\displaystyle {}a_{n}\preccurlyeq a_{n+1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d01657cecb38f54c25c3f77c22860c81c54d2b6d)
und
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![{\displaystyle {}a_{n+1}\preccurlyeq a_{1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f24f42cdff66b3fe395a7132e2c9a87fad2d41)
stimmt auch
![{\displaystyle {}a_{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8f3e5d48cbbcd03fccea832da572cb2f5b48e1d)
mit diesem Element überein.