Ordnungsrelation/Zykel/Gleichheit/Aufgabe/Lösung

Der Induktionsanfang ${}n=2$ folgt unmittelbar aus der Antisymmetrie. Es sei also die Aussage für ein gewisses ${}n\geq 2$ schon bewiesen und es liegen ${}n+1$ Elemente mit den Abschätzungen

${}a_{1}\preccurlyeq a_{2}\preccurlyeq \ldots \preccurlyeq a_{n}\preccurlyeq a_{n+1}\,$

und

${}a_{n+1}\preccurlyeq a_{1}\,$

vor. Wegen der Transitivität der Ordnung gilt dann auch

${}a_{n}\preccurlyeq a_{1}\,$

und damit gelten auch die Bedingungen in der Induktionsvoraussetzung. Somit ist also

${}a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}\,.$

Wegen

${}a_{n}\preccurlyeq a_{n+1}\,$

und

${}a_{n+1}\preccurlyeq a_{1}\,$

stimmt auch ${}a_{n+1}$ mit diesem Element überein.

Zur gelösten Aufgabe