Ordnungstheorie/Lemma von Zorn/Kurzübersicht/Textabschnitt

Es sei ${}(M,\leq )$ eine (nicht notwendigerweise total) geordnete Menge. Sie heißt induktiv geordnet, wenn sie nicht leer ist und wenn es zu jeder total geordneten Teilmenge ${}T\subseteq M$ eine obere Schranke in ${}M$ gibt, d.h. ein Element ${}s\in M$ mit ${}t\leq s$ für alle ${}t\in T$. Das Lemma von Zorn aus der Mengentheorie besagt nun, dass es in ${}M$ maximale Elemente gibt. Dabei heißt ein Element ${}x$ maximal, wenn es kein Element ${}y$ mit ${}x<y$ gibt.

Das Lemma von Zorn ist ein grundlegender mengentheoretischer Sachverhalt, das aus dem Auswahlaxiom folgt (und zu diesem äquivalent ist). Das Auswahlaxiom besagt, dass es für eine beliebige Familie ${}M_{i}$, ${}i\in I$, von nicht leeren Mengen ${}M_{i}$ mit einer beliebigen Indexmenge ${}I$ auch ein Element in der Produktmenge ${}\prod _{i\in I}M_{i}$ gibt.