Orientierte kompakte Fläche/Stetige Abbildungen nach S^1/Bemerkung

Es sei ${}X$ eine kompakte orientierte Fläche mit ${}g$ Henkeln. Zu jeden Henkel gibt es eine stetige surjektive Abbildung auf eine Fläche mit ${}g-1$ Henkeln, die diesen Henkel kontrahiert. Man denke sich den Henkel einfach als Henkel über einer Ebene (einem Kreisausschnitt) und projiziere den Henkel nach unten in die Ebene. So kann man die Fläche auf einen Torus stetig und surjektiv abbilden, wobei ein Henkel erhalten bleibt. Zu jedem Henkel gibt es zwei Abbildungen von ${}S^{1}$ in den Henkel, quer zum Henkel und längs zum Henkel. Es gibt dann zu jedem Henkel und jedem einfach geschlossenen Weg auf dem Henkel eine stetige Abbildung

$S^{1}\longrightarrow X\longrightarrow T\longrightarrow S^{1},$

die insgesamt die Identität ist. Vorne steht die Realisierung des Weges, in der Mitte die Kontraktion der anderen Henkel, rechts die Längs- oder die Querprojektion

$T\cong S^{1}\times S^{1}\longrightarrow S^{1}.$

Unter der exakten Garbensequenz (${}C^{\infty }$-Auswertung der reellen Exponentialsequenz, mit ${}t\mapsto e^{2\pi {\mathrm {i} }t}$)

$0\longrightarrow \mathbb {Z} \longrightarrow C^{\infty }(-,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{\infty }(-,S^{1})$

ist die oben konstruierte Funktion

$h\colon X\longrightarrow S^{1}$

ein globales Element rechts, das nicht von links herkommt, da die Identität auf ${}S^{1}$ keine Liftung nach ${}\mathbb {R}$ zulässt. Eine solche Abbildung repräsentiert also ein nichttriviales Element in ${}H^{1}(X,\mathbb {Z} )$.