Orthogonale Spiegelung/Hyperebene/Eigenräume/Beispiel

Bei einer orthogonalen Spiegelung des ${}\mathbb {R} ^{n}$ an einem ${}(n-1)$-dimensionalen Untervektorraum ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ wird dieser Untervektorraum fixiert und jeder Vektor wird senkrecht zu ${}U$ auf die andere Seite von ${}U$ abgebildet. Wenn ${}v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ eine Basis von ${}U$ und ${}v_{n}$ ein zu ${}U$ orthogonaler Vektor ist, so wird die Spiegelung bezüglich dieser Basis durch die Matrix

${\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&-1\end{pmatrix}}$

beschrieben.