Orthogonale Spiegelung/Hyperebene/Eigenräume/Beispiel

Bei einer orthogonalen Spiegelung des ${ℝ}^n$ an einem $(n-1)$-dimensionalen Untervektorraum  $U\subseteq {ℝ}^n$  wird dieser Untervektorraum fixiert und jeder Vektor wird senkrecht zu $U$ auf die andere Seite von $U$ abgebildet. Wenn $v_1,\dots ,v_{n-1}$ eine Basis von $U$ und $v_n$ ein zu $U$ orthogonaler Vektor ist, so wird die Spiegelung bezüglich dieser Basis durch die Matrix

$\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& \cdots & \cdots & 0\\ 0& 1& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& 1& 0\\ 0& \cdots & \cdots & 0& -1\end{array}\right)$

beschrieben.