Orthonormalisierungsverfahren/(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)/Aufgabe/Lösung

Der Vektor $v_{1} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$ besitzt die Norm $\sqrt{2}$ , somit ist

u_{1} = \frac{v_{1}}{‖ v_{1} ‖} = (\begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})

der zugehörige normierte Vektor. Nun berechnen wir

w_{2} = v_{2} - ⟨ v_{2}, u_{1} ⟩ u_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) - \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{matrix})

als einen orthogonalen Vektor zu $u_{1}$ , der zusammen mit $u_{1}$ den gleichen Untervektorraum wie $v_{1}$ und $v_{2}$ aufspannt. Normieren liefert

u_{2} = \frac{w_{2}}{‖ w_{2} ‖} = (\begin{matrix} \frac{2}{\sqrt{6}} \\ - \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \end{matrix})

als zweiten Vektor der Orthonormalbasis. Ein weiterer Vektor, der orthogonal auf $u_{1}$ und $u_{2}$ steht, ist

\begin{matrix} w_{3} & = v_{3} - ⟨ v_{3}, u_{1} ⟩ u_{1} - ⟨ v_{3}, u_{2} ⟩ u_{2} \\ = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) - \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}) - \frac{1}{\sqrt{6}} (\begin{matrix} \frac{2}{\sqrt{6}} \\ - \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ - \frac{2}{3} \end{matrix}) . \end{matrix}

Somit ist

u_{3} = \frac{w_{3}}{‖ w_{3} ‖} = (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ - \frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix})

ein dritter Vektor der Orthonormalbasis.