Orthonormalisierungsverfahren/(2,1,0),(1,0,-1),(0,0,3)/Aufgabe/Lösung

Der Vektor ${}v_{1}={\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}$ besitzt die Norm ${}{\sqrt {5}}$, somit ist

${}u_{1}={\frac {v_{1}}{\Vert {v_{1}}\Vert }}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {5}}}\\{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\end{pmatrix}}\,$

der zugehörige normierte Vektor. Nun berechnen wir

${}w_{2}=v_{2}-\left\langle v_{2},u_{1}\right\rangle u_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}-{\frac {2}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {5}}}\\{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{5}}\\-{\frac {2}{5}}\\-1\end{pmatrix}}\,$

als einen orthogonalen Vektor zu ${}u_{1}$, der zusammen mit ${}u_{1}$ den gleichen Untervektorraum wie ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ aufspannt. Normieren liefert

${}u_{2}={\frac {w_{2}}{\Vert {w_{2}}\Vert }}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {30}}}\\-{\frac {2}{\sqrt {30}}}\\-{\frac {5}{\sqrt {30}}}\end{pmatrix}}\,$

als zweiten Vektor der Orthonormalbasis. Ein weiterer Vektor, der orthogonal auf ${}u_{1}$ und ${}u_{2}$ steht, ist

${}{\begin{aligned}w_{3}&=v_{3}-\left\langle v_{3},u_{1}\right\rangle u_{1}-\left\langle v_{3},u_{2}\right\rangle u_{2}\\&={\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}}-0{\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {5}}}\\{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\end{pmatrix}}+{\frac {15}{\sqrt {30}}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {30}}}\\-{\frac {2}{\sqrt {30}}}\\-{\frac {5}{\sqrt {30}}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\\-1\\{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Somit ist

${}u_{3}={\frac {w_{3}}{\Vert {w_{3}}\Vert }}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\-{\frac {2}{\sqrt {6}}}\\{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{pmatrix}}\,$

ein dritter Vektor der Orthonormalbasis.

Zur gelösten Aufgabe