Parabel/Abstände der Projektionen/Metrik?/Aufgabe/Kommentar

Auf dem ersten Blick sehen beide Metriken sehr ähnlich aus und dadurch, dass der Absolutbetrag genommen wird sind einige Eigenschaften einer Metrik direkt gegeben. Sowohl ${}d_{1}$ als auch ${}d_{2}$ sind immer nicht negative reelle Zahlen und die Symmetrie ist gegeben, denn für zwei reelle Zahlen ${}a,b\in \mathbb {R}$ gilt

$\vert {a-b}\vert =\vert {-(a-b)}\vert =\vert {b-a}\vert .$

Als nächstes nehmen wir die Definitheit. Für ${}d_{1}$ hilft die Eigenschaft einer jeden Funktion, dass die Punkte aus dem Definitionsbereich genau einmal abgebildet werden, das heißt jeder ${}x-$Wert aus dem Definitionsbereich kommt genau einmal bei einem Punkt aus dem Graphen vor. Daher ist der Abstand der ${}x$-Werte zweier Punkte aus der Parabel dann und nur dann Null, wenn es dieselben Punkte sind. Damit haben wir die Definitheit von ${}d_{1}$. Bei ${}d_{2}$ ist dies anders. Das Problem ist, dass die Quadratfunktion nicht injektiv ist, z.B. gilt

$(-1)^{2}=1=1^{2}.$

Daher sind die Punkte ${}(-1,1)$ und ${}(1,1)$ ein Gegenbeispiel für die Definitheit von ${}d_{2}$. ${}d_{2}$ ist somit keine Metrik auf der Parabel. Wäre die Menge ${}M$ eine andere im ${}\mathbb {R} ^{2}$, z.B. die ${}y$-Achse kann ${}d_{2}$ aber durchaus eine Metrik sein. Die Eigenschaft einer Funktion, eine Metrik zu sein, hängt demnach auch von ihrem Definitionsbreich ab.

Es bleibt für ${}d_{1}$ noch die Dreiecksungleichung zu zeigen. Dies ist üblicherweise die am schwierigsten zu zeigende Eigenschaft einer Metrik. Da der Absolutbetrag aber die Dreiecksungleichung auf den reellen Zahlen erfüllt, haben wir es leichter. Sei ${}(x_{3},y_{3})$ ein dritter Punkt auf der Parabel, dann gilt durch Hinzuaddieren und direkt wieder Subtrahieren

$d_{1}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\vert {x_{1}-x_{2}}\vert =\vert {x_{1}-x_{3}+x_{3}-x_{2}}\vert .$

Jetzt nutzen wir die Dreiecksungleichung des Absolutbetrages und erhalten

$\vert {x_{1}-x_{3}+x_{3}-x_{2}}\vert \leq \vert {x_{1}-x_{3}}\vert +\vert {x_{3}-x_{2}}\vert .$

Auf der rechten Seite haben wir die Abstände des ersten Punktes zum zweiten und des zweiten Punktes zum dritten, gemessen in der Metrik ${}d_{1}$ und damit insgesamt

$d_{1}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))\leq d_{1}((x_{1},y_{1}),(x_{3},y_{3}))+d_{1}((x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3}))$

Damit ist ${}d_{1}$ auf der Parabel eine Metrik.

Zur kommentierten Aufgabe