Parallelogramm/Explizit/Quadrat darin/Aufgabe/Lösung

Die inverse Matrix zu ${}{\begin{pmatrix}3&2\\-1&4\end{pmatrix}}$ ist ${}{\frac {1}{14}}{\begin{pmatrix}4&-2\\1&3\end{pmatrix}}$. Somit ist

${}e_{1}={\frac {4}{14}}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}+{\frac {1}{14}}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}\,$

und

${}e_{2}={\frac {-2}{14}}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}+{\frac {3}{14}}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}\,.$

Wir betrachten den Mittelpunkt des Parallelogramms,

${}P={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {5}{2}}\\{\frac {3}{2}}\end{pmatrix}}\,.$

Wir setzen

${}a:={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {14}{4}}\,.$

Dann ist das achsenparallel Quadrat mit ${}P$ als Eckpunkt unten links und ${}a$ als Seitenlänge ganz in dem Parallelogramm enthalten. Es gilt nämlich für einen Punkt ${}Q$ daraus

${}{\begin{aligned}Q&=P+re_{1}+se_{2}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}+r{\left({\frac {4}{14}}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}+{\frac {1}{14}}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}\right)}+s{\left({\frac {-2}{14}}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}+{\frac {3}{14}}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}\right)}\\&={\left({\frac {1}{2}}+r{\frac {4}{14}}+s{\frac {-2}{14}}\right)}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}+{\left({\frac {1}{2}}+r{\frac {1}{14}}+s{\frac {3}{14}}\right)}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Wegen ${}r,s\leq a$ sind die Koeffizienten bezüglich der vorgegebenen Vektoren zwischen

${}0$ und ${}1$.

Zur gelösten Aufgabe