Es sei
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Die partiellen Ableitungen sind die Richtungsableitungen in Richtung der Standardvektoren
bzw. .
Für jeden Richtungsvektor geht es um die Existenz des Limes
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Bei oder ist der Zähler konstant gleich , sodass der Limes existiert. Somit existieren die partiellen Ableitungen. Wenn hingegen
und
beide nicht sind, so ist
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und dann existiert der Limes
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nicht.