Partielle Ableitung/K/xy^2-z^3, sin xy+x^2 exp z/Berechnung/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung ${}{\mathbb {K} }^{3}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$, die durch

$(x,y,z)\longmapsto (xy^{2}-z^{3},\sin(xy)+x^{2}\cdot \exp z)=(f_{1},f_{2})$

gegeben sei. Die partiellen Ableitungen von ${}f_{1}$ sind

${\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}=y^{2},\,{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}=2y,\,{\frac {\partial f_{1}}{\partial z}}=-3z^{2},$

und die partiellen Ableitungen von ${}f_{2}$ sind

${\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}=y\cos(xy)+2x\cdot \exp z,\,{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}=x\cdot \cos(xy),\,{\frac {\partial f_{2}}{\partial z}}=x^{2}\cdot \exp(z).$