Partitionen/Stirling-Zahl/n-2 Blöcke/Polynom/Aufgabe/Kommentar

Für die Stirling-Zahlen zweiter Art ${}S({n},{k})$ gilt generell, wenn ${}k$ nahe bei ${}n$ ist, wenn es also sehr viele Blöcke gibt, dass dann viele Blöcke einelementig sein müssen. Für diese gibt es dann keine Auswahl mehr. Man kann also diese Zahlen dadurch berechnen, dass man sich überlegt, welche Blockgrößen es überhaupt geben kann und wie viele Partitionen zu diesem Blocktyp gehören. Bei

${}k=n-2\,$

gibt es anzahlmäßig zwei Möglichkeiten: Es gibt einen Block mit drei Elementen, alle weiteren Blöcke sind einelementig, oder es gibt zwei Blöcke mit jeweils zwei Elementen, und wieder sind alle weiteren Blöcke einelementig. Für den ersten Fall gibt es

${}{\binom {n}{3}}={\frac {n(n-1)(n-2)}{6}}\,$

Möglichkeiten. Dies ist ein Polynom vom Grad ${}3$. Für den zweiten Fall muss man eine zweielementige Teilmenge aussuchen und dann aus den verbleibenden ${}n-2$ Elementen eine weitere zweielementige Teilmenge aussuchen, aber zusätzlich berücksichtigen, dass es auf die Reihenfolge der beiden zweielementigen Teilmengen nicht ankommt.

Zur kommentierten Aufgabe