Peano-Axiome/Nachfolger/Vorgängereigenschaft/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}M$ eine Menge mit ${}0$ und einer Abbildung ${}N\colon M\rightarrow M$, die die erststufigen Peano-Axiome für die Nachfolgerabbildung erfüllt, und es sei

${}\alpha :=x\neq 0\rightarrow \exists y(x=Ny)\,.$

Wir möchten ${}\forall x\alpha$ zeigen. Dabei handelt es sich um einen erststufig mit der Symbolmenge ${}\{0,N\}$ formulierten Ausdruck, sodass wir ihn durch Induktion beweisen können. Für ${}x=0$ aus ${}M$ ist der Vordersatz falsch und die Gesamtaussage richtig. Es sei nun ${}x\neq 0$ und die Aussage für ${}x$ richtig, d.h. es gelte ${}\exists y(x=Ny)$. Dann gilt direkt

${}N(x)=N(Ny))\,$

und somit wiederum ${}\exists z(Nx=Nz)$. Die Gesamtaussage ist also auch für ${}N(x)$ richtig und es ergibt sich die Gültigkeit für alle ${}x$.

Zur gelösten Aufgabe