Peano-Axiome/Nachfolger/Vorgängereigenschaft/Aufgabe/Lösung

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Es sei eine Menge mit und einer Abbildung , die die erststufigen Peano-Axiome für die Nachfolgerabbildung erfüllt, und es sei

Wir möchten zeigen. Dabei handelt es sich um einen erststufig mit der Symbolmenge formulierten Ausdruck, so dass wir ihn durch Induktion beweisen können. Für aus ist der Vordersatz falsch und die Gesamtaussage richtig. Sei nun und die Aussage für richtig, d.h. es gelte . Dann gilt direkt

und somit wiederum . Die Gesamtaussage ist also auch für richtig und es ergibt sich die Gültigkeit für alle .
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