Peano/Erststufig/Q geq 0/Kein Peano-Halbring/Aufgabe/Lösung

Die Menge ${}\mathbb {Q} _{\geq 0}$ ist ein kommutativer Halbring, da ${}\mathbb {Q}$ ein Körper ist und ${}\mathbb {Q} _{\geq 0}$ unter Addition und Multiplikation abgeschlossen ist.

Wir betrachten die Aussage

$x=0\vee \exists y(x=y+1),$

die wir als ${}\alpha$ bezeichnen. Es handelt sich um eine Ausssage mit der freien Variablen ${}x$. Diese Aussage ist in ${}\mathbb {Q} _{\geq 0}$ nicht gültig, wenn man ${}x$ beispielsweise durch ${}{\frac {1}{2}}$ belegt, und insbesondere ist ${}\forall x\alpha$ nicht gültig.

Dagegen ist ${}\alpha {\frac {0}{x}}$ aufgrund des linken Teils wahr. Ferner ist die Indukltionsschrittaussage

$\exists y(x=y+1)\rightarrow \exists y(x+1=y+1)$

ebenfalls wahr, da ja aus

${}x=y+1\,$

direkt

${}x+1=(y+1)+1\,$

folgt. Somit gilt die Voraussetzung im Induktionsaxiom, aber nicht die Konklusion für diese Aussage, und somit gilt das Induktionsaxiom in ${}\mathbb {Q} _{\geq 0}$ nicht.

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