Pellsche Gleichung/Zahlbereich/Motivation/Textabschnitt

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Betrachten wir eine Zahlbereichserweiterung

mit einer ganzen Zahl , die beiden Fälle und haben wir schon etwas genauer in den Blick genommen (es sei quadratfrei, enthalte also keinen Primfaktor mehrfach). Auch der Frage, wie in diesen Ringen die Einheiten aussehen, sind wir schon begegnet. Betrachten wir allgemein die Bedingung, ob es zu ein Element mit

Wenn und nicht teilerfremd sind, so kann es keine Lösung geben, seien also und teilerfremd. Dann folgt aus

dass bis auf einen gemeinsamen Vorfaktor

und

gilt, und der Vorfaktor muss oder sein. Die Frage nach den Einheiten ist also im Wesentlichen die Frage, ob

Es geht also darum, welche ganzzahligen Lösungen bei gegebenem die Gleichung

besitzt. Man spricht von der Pellschen Gleichung, deren Lösungsverhalten wesentlich von positiv oder negativ abhängt.