Permuationsmatrix/3-Zyklus/Charakteristisches Polynom/Zerlegung/Beispiel

Wir betrachten die Permutationsmatrix

${\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$

über ${}\mathbb {R}$, das charakteristische Polynom ist

${}\chi _{M}=X^{3}-1=(X-1){\left(X^{2}+X+1\right)}=P\cdot Q\,,$

wobei die beiden Faktoren teilerfremd sind. Wir überprüfen Fakt an diesem Beispiel. Es ist

${}P(M)=M-E_{3}={\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&-1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}}\,$

mit

${}\operatorname {kern} P(M)=\operatorname {Eig} _{1}{\left(M\right)}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\,$

und

${}Q(M)={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}}\,$

mit

${}\operatorname {kern} Q(M)=\langle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}\rangle \,.$

Es ist

${}\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\oplus \langle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}\rangle \,.$

Ferner ist

${}{\begin{aligned}P(M){\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&-1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}}\\&=-{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}P(M){\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&-1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}}\\&=-{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}-2{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

woraus man ablesen kann, dass die Einschränkung von ${}P(M)$ auf ${}\operatorname {kern} Q(M)$ bijektiv ist. Die Darstellung der ${}1$ aus Beispiel führt zur Matrixgleichung

${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}}-{\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}2&0&1\\1&2&0\\0&1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&-1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}}\,.$