Permuationsmatrix/3-Zyklus/Charakteristisches Polynom/Zerlegung/Beispiel

Wir betrachten die Permutationsmatrix

(\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix})

über $ℝ$ , das charakteristische Polynom ist

χ_{M} = X^{3} - 1 = (X - 1) (X^{2} + X + 1) = P \cdot Q,

wobei die beiden Faktoren teilerfremd sind. Wir überprüfen Fakt an diesem Beispiel. Es ist

P (M) = M - E_{3} = (\begin{matrix} - 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \end{matrix})

mit

kern P (M) = {Eig}_{1} (M) = ℝ (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

und

Q (M) = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix})

mit

kern Q (M) = ⟨ (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) ⟩ .

Es ist

ℝ^{3} = ℝ (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \oplus ⟨ (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) ⟩ .

Ferner ist

\begin{matrix} P (M) (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) & = (\begin{matrix} - 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) \\ = - (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) \end{matrix}

und

\begin{matrix} P (M) (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) & = (\begin{matrix} - 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) \\ = - (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) - 2 (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}), \end{matrix}

woraus man ablesen kann, dass die Einschränkung von $P (M)$ auf $kern Q (M)$ bijektiv ist. Die Darstellung der $1$ aus Beispiel führt zur Matrixgleichung

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = \frac{1}{3} (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}) - \frac{1}{3} (\begin{matrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} - 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \end{matrix}) .