Permutation/Kein Fehlstand/Identität/Aufgabe/Lösung

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Wenn die Identität ist, so ist für jedes natürlich auch , so dass kein Fehlstand vorliegt. Die Umkehrung beweisen wir durch Induktion über . Für ist die Aussage richtig. Sei sie für schon bewiesen und sei eine Permutation auf ohne Fehlstand gegeben. Für jedes gilt dann . Die verschiedenen Zahlen , , sind also kleiner als , und daher ist die einzige verbleibende Möglichkeit

Daher ist ein Fixpunkt von und somit kann man als eine Permutation auf auffassen. Diese besitzt ebenfalls keinen Fehlstand und ist nach Induktionsvoraussetzung die Identität, also ist auch die Identität.
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