Permutationen/n und n+1/Bijektion/Aufgabe

Zeige, dass durch die Zuordnung

$S_{n}\times \{1,\ldots ,n+1\}\longrightarrow S_{n+1},\,(\varphi ,x)\longmapsto {\tilde {\varphi }},$

mit

${}{\tilde {\varphi }}(k)={\begin{cases}\varphi (k){\text{ für }}k\leq n{\text{ und }}\varphi (k)<x\,,\\\varphi (k)+1{\text{ für }}k\leq n{\text{ und }}\varphi (k)\geq x\,,\\x{\text{ für }}k=n+1\,,\end{cases}}\,$

eine wohldefinierte bijektive Abbildung gegeben ist.

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