Permutationsmatrix/Zykel/Charakteristisches Polynom/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können von einem Zykel der Form ${}1\mapsto 2\mapsto 3\mapsto \ldots \mapsto k\mapsto 1$ ausgehen. Die zugehörige Permutationsmatrix ${}M_{\rho }$ ist bezüglich ${}e_{k+1},\ldots ,e_{n}$ die Einheitsmatrix und hat bezüglich der ersten ${}k$ Standardvektoren die Gestalt

${\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&1\\1&0&0&\ldots &0\\0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&1&0\end{pmatrix}}.$

Die Determinante zu ${}XE_{n}-M_{\rho }$ ist ${}(X-1)^{n-k}$ multipliziert mit der Determinante von

${\begin{pmatrix}X&0&\ldots &0&-1\\-1&X&0&\ldots &0\\0&-1&X&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&-1&X\end{pmatrix}}.$

Die Entwicklung nach der ersten Zeile liefert

${}X^{k}+(-1)^{k+1}(-1)(-1)^{k-1}=X^{k}-1\,.$

Zur bewiesenen Aussage