Polarkoordinaten/Folge/Konvergenz/Aufgabe

Es sei ${}z_{n}\in {\mathbb {C} }$ eine Folge von komplexen Zahlen, die wir in Polarkoordinaten als

$z_{n}=r_{n}e^{{\mathrm {i} }\varphi _{n}}$

mit ${}r_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und ${}\varphi _{n}\in [0,2\pi [$ schreiben. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn einer der folgenden Fälle vorliegt.

1. Die Folge ${}r_{n}$ konvergiert gegen ${}0$.
2. Die beiden Folgen ${}r_{n}$ und ${}\varphi _{n}$ konvergieren (in ${}\mathbb {R}$).
3. Die Folge ${}r_{n}$ konvergiert und die Folge ${}\varphi _{n}$ besitzt die Punkte ${}0$ und ${}2\pi$ als einzige Häufungspunkte.

Eine Lösung erstellen