Polynom/C/Bildpunkt/Lokale Urbildzerlegung/Linearfaktorzerlegung/Aufgabe

Es sei

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$

ein nichtkonstantes Polynom und ${}b\in {\mathbb {C} }$. Es sei

${}P-b=(Z-a_{1})^{r_{1}}(Z-a_{2})^{r_{2}}\cdots (Z-a_{m})^{r_{m}}\,$

die Zerlegung in Linearfaktoren mit verschiedenen ${}a_{j}$. Wie sieht das Urbild ${}P^{-1}(U)$ für eine hinreichend kleine offene Umgebung ${}a\in U$ aus und auf welche Gestalt kann man die Einschränkung

$P{|}_{P^{-1}(U)}\colon P^{-1}(U)\longrightarrow U$

bringen?

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