Polynom/C/Lokaler Exponent/3/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}f'(z)&=3z^{2}-2z+7\\&=3{\left(z^{2}-{\frac {2}{3}}z+{\frac {7}{3}}\right)}\\&=3{\left({\left(z-{\frac {1}{3}}\right)}^{2}-{\frac {1}{9}}+{\frac {7}{3}}\right)}\\&=3{\left({\left(z-{\frac {1}{3}}\right)}^{2}-{\frac {1}{9}}+{\frac {21}{9}}\right)}\\&=3{\left({\left(z-{\frac {1}{3}}\right)}^{2}+{\frac {20}{9}}\right)},\end{aligned}}$

die Nullstellen sind

${}z_{1}={\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {20}}{3}}+{\frac {1}{3}}\,$

und

${}z_{2}=-{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {20}}{3}}+{\frac {1}{3}}\,.$

Diese sind keine Nullstellen der zweiten Ableitung

${}f^{\prime \prime }(z)=6z-2\,,$

also ist in diesen beiden Punkten der lokale Exponent gleich ${}2$ und in allen anderen Punkten gleich ${}1$.

Zur gelösten Aufgabe