Polynom/C/Verzweigungsort und Verzweigungsbild/Bestimmung/1/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung von ${}F(z)=z^{3}+4z^{2}+3z+1$ ist

${}F'(z)=3z^{2}+8z+3=3{\left(z^{2}+{\frac {8}{3}}z+1\right)}\,$

mit den Nullstellen

${}z_{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {7}}-4}{3}}\,.$

Daher ist ${}F$ in den beiden Punkten ${}{\frac {\pm {\sqrt {7}}-4}{3}}$ verzweigt, jeweils mit dem Verzweigungsindex ${}2$, da diese Punkte keine Nullstelle der zweiten Ableitung

${}F^{\prime \prime }(z)=6z+8\,$

sind. Das Verzweigungsbild besteht aus den beiden Punkten

${}{\begin{aligned}F{\left({\frac {{\sqrt {7}}-4}{3}}\right)}&=\left({\frac {{\sqrt {7}}-4}{3}}\right)^{3}+4\left({\frac {{\sqrt {7}}-4}{3}}\right)^{2}+3\left({\frac {{\sqrt {7}}-4}{3}}\right)+1\\&={\frac {{\left(55{\sqrt {7}}-84-64\right)}+12{\left(23-8{\sqrt {7}}\right)}+27{\sqrt {7}}-108+27}{27}}\\&={\frac {-14{\sqrt {7}}+47}{27}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}F{\left({\frac {-{\sqrt {7}}-4}{3}}\right)}&=\left({\frac {-{\sqrt {7}}-4}{3}}\right)^{3}+4\left({\frac {-{\sqrt {7}}-4}{3}}\right)^{2}+3\left({\frac {-{\sqrt {7}}-4}{3}}\right)+1\\&={\frac {{\left(-55{\sqrt {7}}-84-64\right)}+12{\left(23+8{\sqrt {7}}\right)}-27{\sqrt {7}}-108+27}{27}}\\&={\frac {14{\sqrt {7}}+47}{27}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe