Polynom/C nach C/Überlagerungsort/1/Aufgabe/Lösung

Es ist ${}P'=2z+1$, d.h. die einzige Nullstelle der Ableitung ist bei ${}z=-{\frac {1}{2}}$. Es ist

${}P{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{2}}+1={\frac {3}{4}}\,.$

Wir setzen ${}U={\mathbb {C} }\setminus \{{\frac {3}{4}}\}$ und behaupten, dass

$\varphi ^{-1}(U)={\mathbb {C} }\setminus \{-{\frac {1}{2}}\}\longrightarrow U$

eine Überlagerung ist. Für jeden Punkt ${}u\in U$ gibt es eine Faktorzerlegung

${}P-u=c(z-\alpha )(z-\beta )\,.$

Wegen ${}\alpha ,\beta \neq -{\frac {1}{2}}$ und da die Ableitung nicht ${}0$ ist folgt ${}\alpha \neq \beta$. Jeder Punkt aus ${}U$ besitzt also zwei Urbildpunkte. Da in jedem Punkt ${}v\in \varphi ^{-1}(U)$

ein lokaler Homöomorphismus vorliegt, liegt eine endliche Überlagerung mit Blätterzahl ${}2$ vor.

Zur gelösten Aufgabe