Polynom/C nach C/Keine Überlagerung/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung ${}P'$ besitzt den Grad  ${}d-1\geq 1$  und damit zumindest eine Nullstelle  ${}a\in {\mathbb {C} }$.  Es sei  ${}b=P(a)$.  Das Polynom ${}P-b$ und seine Ableitung  ${}(P-b)'=P'$  besitzen somit in ${}a$ eine Nullstelle, d.h. ${}a$ ist eine mehrfache Nullstelle von ${}P-b$. D.h.  ${}P-b=(X-a)^{r}Q$  mit  ${}r\geq 2$ 

und daher besitzt ${}P-b$ höchstens ${}d-1$ verschiedene Nullstellen, also besteht die Faser zu ${}\varphi$ über ${}b$ aus höchstens ${}d-1$ Elementen. Die Fasern von ${}\varphi$ sind aber außerhalb der Nullstellen der Ableitung ${}d$-elementig. Bei einer Überlagerung über einer zusammenhängenden Menge ist aber die Faseranzahl konstant.

Zur gelösten Aufgabe