Polynom/Komplexe Nullstellen von X^3-1/Aufgabe/Lösung

Zunächst ist ${}1$ eine Nullstelle und daher ist ${}X-1$ ein Linearfaktor. Division mit Rest ergibt

${}(X^{3}-1)=(X-1)(X^{2}+X+1)\,.$

Wir müssen also noch die komplexen Nullstellen von ${}X^{2}+X+1$ bestimmen. Dazu ist

${}X^{2}+X+1={\left(X+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{4}}+1={\left(X+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}+{\frac {3}{4}}\,.$

Damit ist

${}X+{\frac {1}{2}}=\pm {\mathrm {i} }{\sqrt {\frac {3}{4}}}\,$

und somit sind die weiteren Nullstellen

$x_{2}=-{\frac {1}{2}}+{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\,{\text{ und }}\,\,x_{3}=-{\frac {1}{2}}-{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}.$

Zur gelösten Aufgabe