Polynom/Kosinus/Grad 4/Nullstelle/Aufgabe/Lösung

Es ist

{}f(1)=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24}}>0\,

und

{}f(2)=1-2+{\frac {16}{24}}=-1+{\frac {2}{3}}<0\,,

deshalb gibt es nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle zwischen ${}1$ und ${}2$ . Es ist

{}{\begin{aligned}f\left({\frac {3}{2}}\right)&=1-{\frac {\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}}{2}}+{\frac {\left({\frac {3}{2}}\right)^{4}}{24}}\\&=1-{\frac {9}{8}}+{\frac {27}{128}}\\&={\frac {11}{128}}\\&>0.\end{aligned}}

Deshalb gibt es eine Nullstelle in ${}[{\frac {3}{2}},2]$ . Es ist

{}{\begin{aligned}f\left({\frac {7}{4}}\right)&=1-{\frac {\left({\frac {7}{4}}\right)^{2}}{2}}+{\frac {\left({\frac {7}{4}}\right)^{4}}{24}}\\&=1-{\frac {49}{32}}+{\frac {2401}{6144}}\\&={\frac {6144-9408+2401}{1536}}\\&<0.\end{aligned}}

Eine Nullstelle liegt also in

{}[{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}}]

.