Polynom/Minimalpolynom für unendlich viele Matrizen/Aufgabe/Lösung

Sei ${}P=X^{2}$. WIr behaupten, dass dies für sämtliche Matrizen der Form

${\begin{pmatrix}0&r\\0&0\end{pmatrix}}{\text{ mit }}r\in \mathbb {R} {\text{ und }}r\neq 0$

das Minimalpolynom ist. Eine direkte Rechnung zeigt

${}{\begin{pmatrix}0&r\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&r\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,,$

so dass ${}X^{2}$ diese Matrizen annulliert. Das Minimalpolynom muss also ein Teiler von ${}X^{2}$, und die normierten Teiler sind ${}1,X,X^{2}$. Wegen ${}r\neq 0$ ist ${}X$ ausgeschlossen, also ist das Minimalpolynom gleich ${}X^{2}$.

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