Polynom/R/Mehrere Variablen/Höhere partielle Ableitung/Direkt/Einführung zu Taylor-Polynom/Textabschnitt

Wir betrachten die Polynomfunktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 2x^{3}-5x^{2}y-3y^{3}-4x^{2}+6xy+7x+8y-1.$

Offenbar ist ${}f(0,0)=-1$, d.h. der Wert der Funktion ist unmittelbar am konstanten Koeffizienten des Polynoms ablesbar. Ähnliches gilt für die Ableitungen an der Stelle ${}(0,0)$: Um beispielsweise ${}{\frac {\partial f}{\partial x}}(0,0)$ auszurechnen, muss man lediglich den Term ${}7x$ anschauen. Alle anderen Summanden ergeben unter der partiellen Ableitung nach ${}x$ direkt ${}0$ (wenn ${}x$ gar nicht vorkommt) oder einen Ausdruck der Form ${}iax^{i-1}y^{j}$. Da man darin ${}x=0$ und ${}y=0$ einsetzt, ergibt sich immer ${}0$, mit der Ausnahme ${}i=1$ und ${}j=0$. Somit ist ${}{\frac {\partial f}{\partial x}}(0,0)=7$.

Die höheren Ableitungen sind ebenfalls „direkt“ aus den Koeffizienten ablesbar. Beispielsweise ist

${}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial x}}f(0,0)=2\cdot (-4)=-8\,,$

${}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}f(0,0)=6\,,$

${}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial x}}f(0,0)=3\cdot 2\cdot 2=12\,,$

${}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}f(0,0)=2\cdot (-5)=-10\,.$