Polynom/Summenfunktion/4 Werte/Aufgabe/Lösung

Es muss ein interpolierendes Polynom vom Grad ${}\leq 3$ geben, wir können also den Ansatz

${}f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$

machen, wobei wegen der ersten Bedingung direkt ${}d=0$ gilt. Die übrigen Interpolationspunkte liefern das lineare Gleichungssystem

${}a+b+c=1\,,$

${}8a+4b+2c=3\,,$

${}27a+9b+3c=6\,.$

${}II-2I$ ergibt

${}6a+2b=1\,$

und ${}III-3I$ ergibt

${}24a+6b=3\,$

bzw.

${}8a+2b=1\,.$

Daraus folgt ${}a=0$ und ${}b={\frac {1}{2}}$ und damit auch ${}c={\frac {1}{2}}$. Das interpolierende Polynom minimalen Grades ist also

${\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x.$

Zur gelösten Aufgabe