Polynom/Summenfunktion/4 Werte/Aufgabe/Lösung

Es muss ein interpolierendes Polynom vom Grad ${}\leq 3$ geben, wir können also den Ansatz

{}f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,

machen, wobei wegen der ersten Bedingung direkt ${}d=0$ gilt. Die übrigen Interpolationspunkte liefern das lineare Gleichungssystem

{}a+b+c=1\,,

{}8a+4b+2c=3\,,

{}27a+9b+3c=6\,.

${}II-2I$ ergibt

{}6a+2b=1\,

und ${}III-3I$ ergibt

{}24a+6b=3\,

bzw.

{}8a+2b=1\,.

Daraus folgt ${}a=0$ und ${}b={\frac {1}{2}}$ und damit auch ${}c={\frac {1}{2}}$ . Das interpolierende Polynom minimalen Grades ist also

{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x.