Polynom/Zwei Variablen/Gemischte Interpolation/3/Aufgabe/Lösung

Wegen der ersten Bedingung können wir direkt ${}f$ als

${}f=ax+by+cx^{2}+dxy+ey^{2}\,$

ansetzen. Wegen der zweiten Bedingung ist ${}a+b+c+d+e=2$. Die partielle Ableitung von ${}f$ nach ${}x$ ist

${}{\frac {\partial f}{\partial x}}=a+2cx+dy\,$

und die partielle Ableitung von ${}f$ nach ${}y$ ist

${}{\frac {\partial f}{\partial y}}=b+dx+2ey\,.$

Die dritte Bedingung ergibt ${}a=1$ und die fünfte Bedingung ergibt ${}1+2c+d=2$. Die vierte Bedingung ergibt ${}b=-2$ und die sechste Bedingung ergibt

${}-2+d+2e=3\,.$

Für die verbleibenden Unbekannten ${}c,d,e$ haben wir also insgesamt das lineare Gleichungssystem

${}c+d+e=3\,,$

${}2c+d=1\,,$

${}d+2e=5\,.$

Aus den beiden ersten Gleichungen ergibt sich

${}d+2e=5\,,$

die letzte Gleichung ist also nicht nötig. Eine Lösung ist ${}c=1$, ${}d=-1$, ${}e=3$, und man kann das Polynom

$X-2Y+X^{2}-XY+3Y^{2}$

nehmen. Man kann aber auch ${}c=0$, ${}d=1$, ${}e=2$ nehmen, also das Polynom

$X-2Y+XY+2Y^{2}.$

Die Lösung ist also nicht eindeutig.

Zur gelösten Aufgabe