Polynom eine Variable/Morphismus/Etale Einschränkung/Beispiel

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}F\in K[X]$ ein von ${}0$ verschiedenes Polynom vom Grad ${}n$, das wir als Morphismus

$F\colon {\mathbb {A} }^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }^{1},\,x\longmapsto F(x),$

auffassen (zum Einsetzungshomomorphismus ${}Y\mapsto F$). Auf der Ringebene beschrieben geht es um die ${}K[Y]$-Algebra

$K[X]\cong K[X,Y]/(Y-F)\cong K[Y]\cdot 1\oplus K[Y]\cdot X\oplus \cdots \oplus K[Y]\cdot X^{n-1}$

Die Abbildung, um die es geht, ist die horizontale Projektion der roten Kurve auf die ${}y$-Achse. Die beiden Verzweigungspunkte sind die beiden Extremumspunkte. Wenn man deren horizontalen Projektionspunkte (also ihre beiden ${}y$-Koordinaten herausnimmt, bekommt man eine étale Abbildung. Wenn man von diesen ${}y$-Koordinaten alle Urbildpunkte herausnimmt, so liegt eine Überlagerung vor).

mit der durch ${}F$ definierten Multiplikationsregel für ${}X^{n}$. Daher ist diese Abbildung endlich und frei vom Rang ${}n$ und insbesondere flach.

Der Modul der relativen Differentiale ist

$K[X]dX/(dF)\cong K[X]dX/(F'dX).$

Daher ist die Einschränkung auf das Komplement der Verzweigungspunkte, also auf die offene Menge ${}D(F')\subseteq {\mathbb {A} }^{1}$, ein étaler Morphismus. Diese Einschränkung ist im Allgemeinen nicht endlich und bei ${}K={\mathbb {C} }$ auch keine Überlagerung. Wenn man dagegen aus (dem Bildbereich) ${}{\mathbb {A} }^{1}$ sämtliche Bildpunkte ${}B$ der Verzweigungspunkte herausnimmt und die Abbildung auf diese offene Menge und ihr Urbild einschränkt, so erhält man eine endliche étale Abbildung. Es handelt sich ja einfach um eine Nenneraufnahme zu der vorgegebenen endlichen Abbildung, wobei sich die Endlicheit und der Rang überträgt. Zu jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {A} }^{1}\setminus B$ besteht die Faser aus ${}n$ Punkten, da die zugehörige ${}K$-Algebra, die die Faser beschreibt, die ${}K$-Dimension ${}n$ besitzt, separabel (wegen der Unverzweigtheit) über ${}K$ ist und sämtliche Restklassenkörper wegen der algebraischen Abgeschlossenheit isomorph zu ${}K$ sind.