Polynome/Differentialoperatoren/Jacobi-Taylor-Beschreibung/Partielle Ableitungen im Polynomring/Fakt/Beweis

Beweis

Der universelle Operator ${}d^{n}\colon R\rightarrow P_{R{|}K}^{n}$ sendet ein Monom ${}X^{\nu }$ auf

{}{\begin{aligned}1\otimes X^{\nu }&=1\otimes X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}}\\&={\tilde {X}}_{1}^{\nu _{1}}\cdots {\tilde {X}}_{k}^{\nu _{k}}\\&=(X_{1}+A_{1})^{\nu _{1}}\cdots (X_{k}+A_{k})^{\nu _{k}}\\&=\sum _{\lambda \leq \nu }{\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}A_{1}^{\lambda _{1}}\cdots A_{k}^{\lambda _{k}}.\end{aligned}}

Die Verknüpfung mit der durch ${}{\left(a_{\lambda }\right)}$ gegebenen Linearform auf ${}P_{R{|}K}^{n}$ ergibt somit

\sum _{\lambda \leq \nu }{\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}a_{\lambda }.

Dies stimmt mit

\sum _{\lambda }a_{\lambda }{\frac {1}{\lambda !}}{\left({\frac {\partial }{\partial X}}\right)}^{\lambda }{\left(X^{\nu }\right)}

überein.