Polynome einsetzen/x^2+3x-5 und x^2-4x+7/Ableitung/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

\begin{matrix} P (Q) & = (X^{2} - 4 X + 7)^{2} + 3 (X^{2} - 4 X + 7) - 5 \\ = X^{4} + 16 X^{2} + 49 - 8 X^{3} + 14 X^{2} - 56 X + 3 X^{2} - 12 X + 21 - 5 \\ = X^{4} - 8 X^{3} + 33 X^{2} - 68 X + 65. \end{matrix}

b) Die Ableitung von $P (Q)$ ist

(X^{4} - 8 X^{3} + 33 X^{2} - 68 X + 65)^{'} = 4 X^{3} - 24 X^{2} + 66 X - 68 .

Es ist $P^{'} = 2 X + 3$ und

P^{'} (Q) = 2 (X^{2} - 4 X + 7) + 3 = 2 X^{2} - 8 X + 17 .

Nach der Kettenregel ist daher

\begin{matrix} (P (Q))^{'} & = P^{'} (Q) \cdot Q^{'} \\ = (2 X^{2} - 8 X + 17) (2 X - 4) \\ = 4 X^{3} - 8 X^{2} - 16 X^{2} + 32 X + 34 X - 68 \\ = 4 X^{3} - 24 X^{2} + 66 X - 68. \end{matrix}