Polynome einsetzen/x^2+3x-5 und x^2-4x+7/Ableitung/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

{}{\begin{aligned}P(Q)&=(X^{2}-4X+7)^{2}+3(X^{2}-4X+7)-5\\&=X^{4}+16X^{2}+49-8X^{3}+14X^{2}-56X+3X^{2}-12X+21-5\\&=X^{4}-8X^{3}+33X^{2}-68X+65.\end{aligned}}

b) Die Ableitung von ${}P(Q)$ ist

{}(X^{4}-8X^{3}+33X^{2}-68X+65)^{\prime }=4X^{3}-24X^{2}+66X-68\,.

Es ist ${}P'=2X+3$ und

{}P'(Q)=2(X^{2}-4X+7)+3=2X^{2}-8X+17\,.

Nach der Kettenregel ist daher

{}{\begin{aligned}(P(Q))^{\prime }&=P'(Q)\cdot Q'\\&=(2X^{2}-8X+17)(2X-4)\\&=4X^{3}-8X^{2}-16X^{2}+32X+34X-68\\&=4X^{3}-24X^{2}+66X-68.\end{aligned}}