Da partielle Ableitungen mit Addition und Skalarmultiplikation verträglich sind, und da ein Polynom eine Summe aus Monomen, multipiziert mit Konstanten ist, genügt es, die Aussage für Monome
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zu zeigen. Bei ist die Aussage richtig, sodass wir annehmen. Es ist
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Wenn ist, so ist dies , und in diesem Fall sind auch
und
die Nullfunktion, also gleich. Dies ist auch bei der Fall. Es seien also . Dann ist
Dies ist auch das Ergebnis in der umgekehrten Reihenfolge.