Polynomiale Abbildung/A^2 nach A^1/Eine Faser reduzibel, sonst irreduzibel/Aufgabe/Lösung

Sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Wir betrachten die Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,(x,y)\longmapsto xy.$

Die Faser über dem Nullpunkt ist das Achsenkreuz ${}V(xy)=V(x)\cup V(y)$, das nicht irreduzibel. Die Faser über einem Punkt ${}\lambda \in K$, ${}\lambda \neq 0$, ist ${}V(xy-\lambda )$. Es genügt zu zeigen, dass ${}xy-\lambda$ ein Primpolynom ist. Dies folgt aber aus der Isomorphie

$K[x,y]/(xy-\lambda )\longrightarrow K[u]_{u},\,x\mapsto u,\,y\mapsto \lambda u^{-1},$

mit der Umkehrabbildung ${}u\mapsto x$. Die universellen Eigenschaften von Restklassenbildung und Nenneraufnahme sichern dabei, dass wirklich eine Bijektion vorliegt.

Zur gelösten Aufgabe