Polynomiale Abbildung/A^2 nach A^1/Eine Faser reduzibel, sonst irreduzibel/Aufgabe/Lösung

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Wir betrachten die Abbildung

𝔸_{K}^{2} ⟶ 𝔸_{K}^{1}, (x, y) ⟼ x y .

Die Faser über dem Nullpunkt ist das Achsenkreuz $V (x y) = V (x) \cup V (y)$ , das nicht irreduzibel. Die Faser über einem Punkt $λ \in K$ , $λ \neq 0$ , ist $V (x y - λ)$ . Es genügt zu zeigen, dass $x y - λ$ ein Primpolynom ist. Dies folgt aber aus der Isomorphie

K [x, y] / (x y - λ) ⟶ K [u]_{u}, x \mapsto u, y \mapsto λ u^{- 1},

mit der Umkehrabbildung

u \mapsto x

. Die universellen Eigenschaften von Restklassenbildung und Nenneraufnahme sichern dabei, dass wirklich eine Bijektion vorliegt.

Zur gelösten Aufgabe