Polynomiale Abbildung/Standardaufblasung/Affine Koordinaten/Bemerkung

Die Abbildung

$\pi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,(y_{1},\ldots ,y_{n})\longmapsto (x_{1},\ldots ,x_{n})=(y_{1},y_{1}y_{2},\ldots ,y_{1}y_{n}),$

beschreibt einen affinen Ausschnitt der Aufblasung des Nulllpunktes des affinen Raumes. Auf den Kähler-Differentialen induziert dies die Abbildung

$\pi ^{*}\Omega _{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow \Omega _{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$

mit ${}dx_{1}\mapsto dy_{1}$ und ${}dx_{i}\mapsto d(y_{1}y_{i})=y_{1}dy_{i}+y_{i}dy_{1}$. Somit ist

${}\Omega _{{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}{|}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}}=R^{n-1}/(y_{1}dy_{i},\,i=2,\ldots ,n)\cong {\left(R/(y_{1})\right)}^{n-1}\,.$

Dies ist auch ${}i_{*}\Omega _{E'}$, wobei hier ${}E'$ den affinen Ausschnitt des exzeptionelen Divisors bezeichnet.

Bei ${}n=2$ ist das der Restklassenring zum Hauptideal ${}(y_{1})$, das den exzeptionellen Ort beschreibt. Dort ist

$0\longrightarrow \pi ^{*}\Omega _{{\mathbb {A} }_{K}^{2}}\cong {\mathcal {O}}_{\widetilde {{\mathbb {A} }_{K}^{2}}}^{2}\longrightarrow \Omega _{\widetilde {{\mathbb {A} }_{K}^{2}}}\longrightarrow i_{*}{\mathcal {O}}_{E}(-2)\longrightarrow 0.$