Polynomiale Abbildung/x^2 durch 2, x+y/Kritische Punkte/Achsenkreuz/Aufgabe/Lösung

1. Die Abbildung ist nicht surjektiv, da beispielsweise ${}{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}$ nicht erreicht wird.
2. Die Abbildung ist nicht injektiv, da ${}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$ beide auf ${}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\\0\end{pmatrix}}$ abgebildet werden.
3. Die ${}x$-Achse ${}{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}$, ${}x\in \mathbb {R}$ wird auf ${}{\begin{pmatrix}{\frac {x^{2}}{2}}\\x\end{pmatrix}}$, ${}x\in \mathbb {R}$ abgebildet, also eine liegende flache nach rechts offene Parabel, die ${}y$-Achse ${}{\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}}$, ${}y\in \mathbb {R}$ wird auf ${}{\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}}$, ${}y\in \mathbb {R}$ abgebildet, also auf die ${}y$-Achse.
4. Die Jacobi-Matrix ist

   ${\begin{pmatrix}x&0\\1&1\end{pmatrix}}.$

5. Die Determinante der Jacobi-Matrix ist

   ${}\det {\begin{pmatrix}x&0\\1&1\end{pmatrix}}=x\,,$

   die kritischen Punkte sind also die Punkte, wo ${}x=0$, also die Punkte auf der ${}y$-Achse.

Zur gelösten Aufgabe