Polynomring/1/Einheitswurzeloperation/Differentialoperatoren/Beispiel

Wir betrachten die Operationen der Gruppe der $n$-ten Einheitswurzeln auf $K[Y]$, wobei $\zeta$ durch ${\phi }_{\zeta }:Y\mapsto \zeta Y$ wirkt. Der invariantenring ist  $K[Y^n]\cong K[X]$.  Der Operator ${\partial }_Y$ ist nicht invariant, da

$({\phi }_{{\zeta }^{-1}}\circ {\partial }_Y\circ {\phi }_{\zeta })(Y)=({\phi }_{{\zeta }^{-1}}\circ {\partial }_Y)(\zeta Y)=({\phi }_{{\zeta }^{-1}})(\zeta )=\zeta ,$

da ja die Automorphismen auf $K$ identisch wirken. Entsprechend ist für  $\ell \ge 2$ 

$\begin{array}{cc}({\phi }_{{\zeta }^{-1}}\circ {\partial }_Y\circ {\phi }_{\zeta })(Y^{\ell })& =({\phi }_{{\zeta }^{-1}}\circ {\partial }_Y)({\zeta }^{\ell }{Y}^{\ell })\\ & =({\phi }_{{\zeta }^{-1}})(\ell {\zeta }^{\ell }{Y}^{\ell -1})\\ & =\ell {\zeta }^{-\ell +1}{\zeta }^{\ell }{Y}^{\ell -1}\\ & =\ell \zeta Y^{\ell -1}.\end{array}$

Es ist also

${\phi }_{{\zeta }^{-1}}\circ {\partial }_Y\circ {\phi }_{\zeta }=\zeta {\partial }_Y.$

Der invariant gemachte Operator wirkt

$(\sum _{\zeta }{\phi }_{{\zeta }^{-1}}\circ {\partial }_Y\circ {\phi }_{\zeta })(Y^{\ell })=\ell \left(\sum _{\zeta }\zeta \right)Y^{\ell -1}=0.$

Der Operator ${\partial }_Y^n$ ist dagegen invariant, da für  $\ell \ge n$ 

$\begin{array}{cc}({\phi }_{{\zeta }^{-1}}\circ {\partial }_Y^n\circ {\phi }_{\zeta })(Y^{\ell })& =({\phi }_{{\zeta }^{-1}}\circ {\partial }_Y^n)({\zeta }^{\ell }{Y}^{\ell })\\ & =({\phi }_{{\zeta }^{-1}})(\ell \cdots (\ell -n+1){\zeta }^{\ell }{Y}^{\ell -n})\\ & =\ell \cdots (\ell -n+1){\zeta }^{-\ell +n}{\zeta }^{\ell }{Y}^{\ell -n}\\ & =\ell \cdots (\ell -n+1){\zeta }^n{Y}^{\ell -n}\\ & =\ell \cdots (\ell -n+1)Y^{\ell -n}.\end{array}$