Polynomring/1/Einheitswurzeloperation/Differentialoperatoren/Beispiel

Wir betrachten die Operationen der Gruppe der ${}n$-ten Einheitswurzeln auf ${}K[Y]$, wobei ${}\zeta$ durch ${}\varphi _{\zeta }:Y\mapsto \zeta Y$ wirkt. Der invariantenring ist ${}K[Y^{n}]\cong K[X]$. Der Operator ${}\partial _{Y}$ ist nicht invariant, da

${}(\varphi _{\zeta ^{-1}}\circ \partial _{Y}\circ \varphi _{\zeta })(Y)=(\varphi _{\zeta ^{-1}}\circ \partial _{Y})(\zeta Y)=(\varphi _{\zeta ^{-1}})(\zeta )=\zeta \,,$

da ja die Automorphismen auf ${}K$ identisch wirken. Entsprechend ist für ${}\ell \geq 2$

${}{\begin{aligned}(\varphi _{\zeta ^{-1}}\circ \partial _{Y}\circ \varphi _{\zeta })(Y^{\ell })&=(\varphi _{\zeta ^{-1}}\circ \partial _{Y})(\zeta ^{\ell }Y^{\ell })\\&=(\varphi _{\zeta ^{-1}})(\ell \zeta ^{\ell }Y^{\ell -1})\\&=\ell \zeta ^{-\ell +1}\zeta ^{\ell }Y^{\ell -1}\\&=\ell \zeta Y^{\ell -1}.\end{aligned}}$

Es ist also

${}\varphi _{\zeta ^{-1}}\circ \partial _{Y}\circ \varphi _{\zeta }=\zeta \partial _{Y}\,.$

Der invariant gemachte Operator wirkt

${}(\sum _{\zeta }\varphi _{\zeta ^{-1}}\circ \partial _{Y}\circ \varphi _{\zeta })(Y^{\ell })=\ell {\left(\sum _{\zeta }\zeta \right)}Y^{\ell -1}=0\,.$

Der Operator ${}\partial _{Y}^{n}$ ist dagegen invariant, da für ${}\ell \geq n$

${}{\begin{aligned}(\varphi _{\zeta ^{-1}}\circ \partial _{Y}^{n}\circ \varphi _{\zeta })(Y^{\ell })&=(\varphi _{\zeta ^{-1}}\circ \partial _{Y}^{n})(\zeta ^{\ell }Y^{\ell })\\&=(\varphi _{\zeta ^{-1}})(\ell \cdots (\ell -n+1)\zeta ^{\ell }Y^{\ell -n})\\&=\ell \cdots (\ell -n+1)\zeta ^{-\ell +n}\zeta ^{\ell }Y^{\ell -n}\\&=\ell \cdots (\ell -n+1)\zeta ^{n}Y^{\ell -n}\\&=\ell \cdots (\ell -n+1)Y^{\ell -n}.\end{aligned}}$