Polynomring/1/Körper/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis

Beweis

Lediglich die Gültigkeit des Assoziativgesetzes für die Multiplikation und des Distributivgesetzes sind nicht unmittelbar klar. Zum Nachweis dieser Eigenschaften schreiben wir abkürzend die beteiligten Polynome als

$\sum _{i}a_{i}X^{i},\,\sum _{j}b_{j}X^{j}{\text{ und }}\sum _{k}c_{k}X^{k}.$

Mit diesen Bezeichnungen ist

${}{\begin{aligned}{\left({\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)}{\left(\sum _{j}b_{j}X^{j}\right)}\right)}{\left(\sum _{k}c_{k}X^{k}\right)}&={\left(\sum _{r}{\left(\sum _{i+j=r}a_{i}b_{j}\right)}X^{r}\right)}{\left(\sum _{k}c_{k}X^{k}\right)}\\&={\left(\sum _{s}{\left(\sum _{i+j+k=s}a_{i}b_{j}c_{k}\right)}X^{s}\right)},\end{aligned}}$

woraus wegen der Symmetrie des Ausdrucks die Assoziativität ablesbar ist. Ferner ist

${}{\begin{aligned}{\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)}{\left({\left(\sum _{j}b_{j}X^{j}\right)}+{\left(\sum _{j}c_{j}X^{j}\right)}\right)}&={\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)}{\left(\sum _{j}{\left(b_{j}+c_{j}\right)}X^{j}\right)}\\&=\sum _{r}{\left(\sum _{i+j=r}a_{i}{\left(b_{j}+c_{j}\right)}\right)}X^{r}\\&=\sum _{r}{\left(\sum _{i+j=r}a_{i}b_{j}+a_{i}c_{j}\right)}X^{r}\\&=\sum _{r}{\left(\sum _{i+j=r}a_{i}b_{j}\right)}X^{r}+\sum _{r}{\left(\sum _{i+j=r}a_{i}c_{j}\right)}X^{r}\\&={\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)}{\left(\sum _{j}b_{j}X^{j}\right)}+{\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)}{\left(\sum _{j}c_{j}X^{j}\right)},\end{aligned}}$

was die Distributivität bedeutet.

Zur bewiesenen Aussage