Polynomring/1/X-a/Nullstellenfrei/Teilerfremd/Aufgabe/Lösung

1. Der einzige normierte Teiler von ${}X-a$ von positivem Grad ist ${}X-a$ selbst. Da ${}a$ keine Nullstelle von ${}P$ ist, folgt nach Fakt, dass ${}X-a$ kein Teiler von ${}P$ ist. Die einzigen gemeinsamen Teiler sind somt die konstanten Polynome ${}\neq 0$, was die Teilerfremdheit bedeutet.
2. Die einzigen normierten Teiler von ${}(X-a)^{k}$ sind ${}(X-a)^{\ell }$ mit ${}\ell \leq k$. Deshalb folgt die Teilerfremdheit aus Teil (1).

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