Polynomring/2 Variablen/2 Erzeuger/Syzygien/Beispiel

Es sei ${}K[X,Y]$ und ${}I={\left(X^{a},Y^{a}\right)}$ und ${}X^{a-1}Y^{a-1}$. Unter dem Modulisomorphismus

${}R\cong \operatorname {Syz} {\left(X^{a},Y^{a}\right)}\,$

ist die zugehörige Kohomologieklasse gleich ${}{\frac {1}{XY}}$. In Syzygienschreibweise ist dies gleich ${}{\frac {1}{XY}}\left(Y^{a},\,-X^{a}\right)$. In der Realisierung als Gruppenschema (als Untergruppe) ist dies ${}K[X,Y][S,T]/{\left(X^{a}S+Y^{a}T\right)}$, die Schnitte sind die Syzygien. Der auf ${}D(XY)$ definierte Schnitt ${}{\frac {1}{XY}}\left(Y^{a},\,-X^{a}\right)$ besitzt eingeschränkt auf die Geraden (nicht die Achsen) bei ${}a\geq 2$ eine Fortsetzung in den Nullpunkt hinein.