Polynomring/2 Variablen/X^2 und Y^2/XY/Restklassenring/Straffer Abschluss/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper von positiver Charakteristik, ${}R=K[X,Y]$, ${}I={\left(X^{2},Y^{2}\right)}$. Dann ist ${}XY\notin I$, das Element gehört aber zum integralen Abschluss von ${}I$. Für jeden echten Restklassenring ${}S=R/{\mathfrak {a}}$ des Polynomringes gehört daher ${}xy$ zum integralen Abschluss von ${}IS$ und damit auch zum straffen Abschluss von ${}IS$, da diese Ringe ja höchstens eindimensional sind. Der Torsor zur Kohomologieklasse ${}{\frac {1}{XY}}$ ist ein affines Schema über der projektiven Gerade ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ und enthält keine projektive Kurve, über jedem einzelnen Punkt enthält es aber natürlich Punkte.