Polynomring/Charakteristik p/Differentialoperatoren/Taylor-Reihe/Unitär/Bemerkung

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Die mehrdimensionale Taylor-Formel (bis zur Ordnung ) hat die Form (siehe Fakt)

Dabei ist eine hinreichend oft differenzierbare Funktion in einer Umgebung eines Punktes , repräsentiert einen von ausgehenden Vektor und bedeutet, dass der Fehlerterm in einem gewissen Sinne klein ist. Wenn ein Polynom über einem beliebigen Körper ist, so gilt diese Beziehung nach wie vor (bei hinreichend groß handelt es sich um eine Gleichung), und zwar im Polynomring , und diese Beziehung lässt sich direkt algebraisch beweisen. Beispielsweise ist für

Die Koeffizientenfunktion vor , also die konstante Funktion , kann man als erhalten. Da die Gleichung aber algebraisch ist, gilt sie in jeder Charakteristik. In der Tat kann man den Ausdrücken auch in positiver Charakteristik einen wohldefinierten Sinn zuordnen, nämlich eben als Koeffizientenfunktion zu in der Taylor-Entwicklung. Zur Berechnung kann man dabei so vorgehen, dass man „normal“ vollständig ableitet und die vorgezogenen Exponenten erstmal in belässt, dann mit kürzt (das Ergebnis bleibt in ) und erst dann diese Zahl in interpretiert.

Über einem Körper der Charakteristik gibt es also auch die Differentialoperatoren . Insbesondere ist

Diese Operatoren sind aber nicht, wie in Charakteristik , als eine Hintereinanderschaltung von partiellen Ableitungen realisierbar. Der Ring aller Differentialoperatoren ist in positiver Charakteristik nicht endlich erzeugt.