Polynomring/Differentialoperatoren/Offene Teilmenge bzw. Nenneraufnahme/Bemerkung

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Einen Differentialoperator auf bzw. auf kann man auf jede offene Menge einschränken. Er ist dann definiert auf der entsprechenden Funktionsklasse auf . Dies gilt auch im algebraischen Kontext.

Die partiellen Ableitungen sind lokal in dem Sinne, dass nur von einer offenen Umgebung des Punktes abhängt und auch nur auf einer solchen Umgebung definiert sein muss. Insbesondere ist für rationale Funktionen (also Polynome mit ) wohldefiniert, und ergibt wieder eine rationale Funktion, die außerhalb der Nullstellenmenge von definiert ist. Dies überträgt sich auf alle Differentialoperatoren. Insbesondere führt ein Differentialoperator auf zu einem Differentialoperator auf dem Körper der rationalen Funktionen

Umgekehrt lässt sich nicht jeder auf einer offenen Menge definierte Differentialoperator sinnvoll auf den Gesamtraum fortsetzen. Beispielsweise ist ein Operator wie auf der Nenneraufnahme (geometrisch: dort, wo ist) definiert, aber nicht überall. Alle unter der Verwendung verschiedener Nennerpolynome aufgestellten Differentialoperatoren kann man als Differentialoperator auf auffassen und vergleichen. Dabei gilt, dass ein Differentialoperator

genau dann auf einem Unterring

einen sinnvollen Differentialoperator definiert, wenn gilt. Es wird dann einfach der Definitionsbereich und der Bildbereich auf eingeschränkt.