Polynomring/Eine Variable/Körper/Einsetzungshomomorphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien  $P=\sum _i{a}_i{X}^i$  und  $Q=\sum _j{b}_j{X}^j$. 

1. Es ist

   $P+Q=\sum _i(a_i+b_i)X^i$

   und somit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes für $K$

   $\begin{array}{cc}(P+Q)(z)& =\left(\sum _i(a_i+b_i)X^i\right)(z)\\ & =\sum _i(a_i+b_i)z^i\\ & =\sum _i{a}_i{z}^i+\sum _i{b}_i{z}^i\\ & =\left(\sum _i{a}_i{X}^i\right)(z)+\left(\sum _i{b}_i{X}^i\right)(z)\\ & =P(z)+Q(z).\end{array}$

2. Es ist

   $P\cdot Q=\sum _k(\sum _{i+j=k}{a}_i\cdot b_j)X^k$

   und somit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes und der Potenzgesetze für $K$

   $\begin{array}{cc}(P\cdot Q)(z)& =\left(\sum _k(\sum _{i+j=k}{a}_i\cdot b_j)X^k\right)(z)\\ & =\sum _k(\sum _{i+j=k}{a}_i\cdot b_j)z^k\\ & =\sum _{i,j}{a}_i\cdot b_j{z}^{i+j}\\ & =\left(\sum _i{a}_i{z}^i\right)\cdot \left(\sum _j{b}_j{z}^j\right)\\ & =\left(\sum _i{a}_i{X}^i\right)(z)\cdot \left(\sum _j{b}_j{X}^j\right)(z)\\ & =P(z)\cdot Q(z).\end{array}$

3. Für jedes konstante Polynom $a_0$ gilt  $a_0(z)=a_0$,  da nicht eingesetzt werden kann.

Zur bewiesenen Aussage