Polynomring/Eine Variable/Körper/Einsetzungshomomorphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien  ${}P=\sum _{i}a_{i}X^{i}$  und  ${}Q=\sum _{j}b_{j}X^{j}$. 

1. Es ist

   ${}P+Q=\sum _{i}{\left(a_{i}+b_{i}\right)}X^{i}\,$

   und somit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes für ${}K$

   ${}{\begin{aligned}(P+Q)(z)&={\left(\sum _{i}{\left(a_{i}+b_{i}\right)}X^{i}\right)}(z)\\&=\sum _{i}{\left(a_{i}+b_{i}\right)}z^{i}\\&=\sum _{i}a_{i}z^{i}+\sum _{i}b_{i}z^{i}\\&={\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)}(z)+{\left(\sum _{i}b_{i}X^{i}\right)}(z)\\&=P(z)+Q(z).\end{aligned}}$

2. Es ist

   ${}P\cdot Q=\sum _{k}{\left(\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}\right)}X^{k}\,$

   und somit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes und der Potenzgesetze für ${}K$

   ${}{\begin{aligned}(P\cdot Q)(z)&={\left(\sum _{k}{\left(\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}\right)}X^{k}\right)}(z)\\&=\sum _{k}{\left(\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}\right)}z^{k}\\&=\sum _{i,j}a_{i}\cdot b_{j}z^{i+j}\\&={\left(\sum _{i}a_{i}z^{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j}b_{j}z^{j}\right)}\\&={\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)}(z)\cdot {\left(\sum _{j}b_{j}X^{j}\right)}(z)\\&=P(z)\cdot Q(z).\end{aligned}}$

3. Für jedes konstante Polynom ${}a_{0}$ gilt  ${}a_{0}(z)=a_{0}$,  da nicht eingesetzt werden kann.

Zur bewiesenen Aussage