Polynomring/Grad/Einfache Regeln/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaft erfüllt.

1. ${}\operatorname {grad} \,(P+Q)\leq \max\{\operatorname {grad} \,(P),\,\operatorname {grad} \,(Q)\}$
2. ${}\operatorname {grad} \,(P\cdot Q)\leq \operatorname {grad} \,(P)+\operatorname {grad} \,(Q)$
3. Wenn ${}R$ ein Integritätsbereich ist, so gilt in (2) die Gleichheit.

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