Polynomring/Grad bis 2/Evaluationen/Linearkombination/1/Aufgabe/Lösung

a) Für Polynome ${}P,Q\in K[X]_{\leq 2}$ und Skalare ${}r,s\in K$ und ${}z\in K$ ist

${}{\begin{aligned}\operatorname {Ev} _{z}(rP+sQ)&=(rP+sQ)(z)\\&=rP(z)+sQ(z)\\&=r\operatorname {Ev} _{z}(P)+s\operatorname {Ev} _{z}(Q),\end{aligned}}$

was die Linearität bedeutet.

b) Es sei

${}P=aX^{2}+bX+c\,.$

Es ist

${}\operatorname {Ev} _{1}(P)=a+b+c\,,$

${}\operatorname {Ev} _{0}(P)=c\,$

und

${}\operatorname {Ev} _{-1}(P)=a-b+c\,.$

Die Koeffizienten des Polynoms kann man aus den drei Evaluationen rekonstruieren, es ist

${}a={\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{1}(P)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{-1}(P)-\operatorname {Ev} _{0}(P)\,,$

${}b={\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{1}(P)-{\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{-1}(P)\,$

und

${}c=\operatorname {Ev} _{0}(P)\,.$

Daher ist

${}{\begin{aligned}\operatorname {Ev} _{5}(P)&=\operatorname {Ev} _{5}(aX^{2}+bX+c)\\&=25a+5b+c\\&=25{\left({\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{1}(P)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{-1}(P)-\operatorname {Ev} _{0}(P)\right)}+5{\left({\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{1}(P)-{\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{-1}(P)\right)}+\operatorname {Ev} _{0}(P)\\&=15\operatorname {Ev} _{1}(P)+10\operatorname {Ev} _{-1}(P)+24\operatorname {Ev} _{0}(P).\end{aligned}}$

Also ist

${}\operatorname {Ev} _{5}=15\operatorname {Ev} _{1}+10\operatorname {Ev} _{-1}+24\operatorname {Ev} _{0}\,.$

c) Für das Polynom ${}3X^{2}-4X+7$ ergibt die Auswertung an ${}5$ direkt

${}3\cdot 5^{2}-4\cdot 5+7=62\,.$

Die Linearkombination der Auswertungen ergibt ebenfalls

${}{\begin{aligned}15\operatorname {Ev} _{1}{\left(3X^{2}-4X+7\right)}+10\operatorname {Ev} _{-1}{\left(3X^{2}-4X+7\right)}+24\operatorname {Ev} _{0}{\left(3X^{2}-4X+7\right)}&=15\cdot {\left(3-4+7\right)}+10{\left(3+4+7\right)}+24\cdot 7\\&=90+140-168\\&=62.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe