Polynomring/Standardaufblasung/Affin/Maximales Ideal/Torsion/Beispiel

Wir betrachten den Beginn der Koszul-Auflösung

$R^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})}⟶R^n⟶𝔪⟶0$

und den Ringwechsel

$R=K[X_1,\dots ,X_n]⟶T=K[X_1,S_2,\dots ,S_n],X_j⟼X_1{S}_j,$

mit $X_1\mapsto X_1$. In der Tensorierung der Sequenz gilt mit den Erzeugern $f_j$ die Beziehung

$X_1{f}_j=X_j{f}_1=X_1{S}_j{f}_1.$

Somit ist

$X_1(f_j-S_j{f}_1)=0.$

Wenn man modulo der Torsion geht, so ist

$f_j-S_j{f}_1=0$

und man braucht nur den Erzeuger $f_1$. Modulo Torsion ist die Abbildung nach $S$ surjektiv.