Polynomring/Standardaufblasung/Affin/Maximales Ideal/Torsion/Beispiel

Wir betrachten den Beginn der Koszul-Auflösung

$R^{\binom {n}{2}}\longrightarrow R^{n}\longrightarrow {\mathfrak {m}}\longrightarrow 0$

und den Ringwechsel

$R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow T=K[X_{1},S_{2},\ldots ,S_{n}],\,X_{j}\longmapsto X_{1}S_{j},$

mit ${}X_{1}\mapsto X_{1}$. In der Tensorierung der Sequenz gilt mit den Erzeugern ${}f_{j}$ die Beziehung

${}X_{1}f_{j}=X_{j}f_{1}=X_{1}S_{j}f_{1}\,.$

Somit ist

${}X_{1}{\left(f_{j}-S_{j}f_{1}\right)}=0\,.$

Wenn man modulo der Torsion geht, so ist

${}f_{j}-S_{j}f_{1}=0\,$

und man braucht nur den Erzeuger ${}f_{1}$. Modulo Torsion ist die Abbildung nach ${}S$ surjektiv.