Polynomring/Standardaufblasung/Affin/Projektives Spektrum/Beispiel

Wir betrachten

K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[X_{1},{\frac {X_{2}}{X_{1}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{1}}}]\longleftarrow K[{\frac {X_{2}}{X_{1}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{1}}}].

Dabei steht rechts der globale Schnittring des projektiven Raumes über ${}D_{+}(X_{1})$ und in der Mitte der Schnittring der Aufblasung über ${}D_{+}(X_{1}T)$ . Alles spielt sich innerhalb der Nenneraufnahme an ${}X_{1}$ ab. Die homogene Auflösung

0\longrightarrow R(-a-b-c)\longrightarrow R(-a-b)\oplus R(-a-c)\oplus R(-b-c)\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(X^{a},Y^{b},Z^{c}\right)}\longrightarrow 0

lässt sich auf der projektiven Ebene mit unterschiedlichen Twists verwirklichen, das ändert den Pullback auf der Aufblasung. Ist eine davon die richtige? Die beschreibende Präsentation auf der projektiven Ebene wird auf die Aufblasung zurückgezogen und ergibt auf den exzeptionellen Divisor eingeschränkt sich selbst. Insbesondere werden die ${}{\mathcal {O}}_{}(-a-b)$ auf sich selbst zurückgezogen.

Der modultheoretische Rückzug wird durch

0\longrightarrow S(-a-b-c)\longrightarrow S(-a-b)\oplus S(-a-c)\oplus S(-b-c)\longrightarrow S\otimes _{R}\operatorname {Syz} {\left(X^{a},Y^{b},Z^{c}\right)}\longrightarrow 0

beschrieben, wobei die Relation ${}Z^{c}f_{1}+Y^{b}f_{2}+X^{a}f_{3}$ besteht, die die Form ${}X^{c}S^{c}f_{1}+X^{b}T^{b}f_{2}+X^{a}f_{3}$ annimmt. Bei ${}a=b=c$ kann man modulo der ${}X^{a}$ -Torsion gehen und nach ${}f_{3}$ auflösen, dieser Modul ist dann frei. Der annullierende Untermodul (vom Rang ${}1$ )