Population/Vermehrung und Absterben/Aufgabe

Eine Tierpopulation besteht aus Traglingen (erstes Lebensjahr), Frischlingen (zweites Lebensjahr), Halbstarken (drittes Lebensjahr), Reifen (viertes Lebensjahr) und alten Hasen (fünftes Lebensjahr), älter können diese Tiere nicht werden. Der Gesamtbestand dieser Tiere in einem bestimmten Jahr ${}j$ wird daher durch ein ${}5$-Tupel

${}B_{j}=\left(b_{1,j},\,b_{2,j},\,b_{3,j},\,b_{4,j},\,b_{5,j}\right)\,$

angegeben.

Von den Traglingen erreichen ${}7/8$-tel das Frischlingsalter, von den Frischlingen erreichen ${}9/10$-tel das Halbstarkenalter, von den Halbstarken erreichen ${}5/6$-tel das reife Alter und von den Reifen erreichen ${}2/3$-tel das fünfte Jahr.

Traglinge und Frischlinge können sich noch nicht vermehren, dann setzt die Geschlechtsreife ein und ${}10$ Halbstarke zeugen ${}5$ Nachkommen und ${}10$ Reife zeugen ${}8$ Nachkommen, wobei die Nachkommen ein Jahr später geboren werden.

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die den Gesamtbestand ${}B_{j+1}$ aus dem Bestand ${}B_{j}$ berechnet.

b) Was wird aus dem Bestand ${}\left(200,\,150,\,100,\,100,\,50\right)$ im Folgejahr?

c) Was wird aus dem Bestand ${}\left(0,\,0,\,100,\,0,\,0\right)$ in fünf Jahren?

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